Trong xác suất, cho các biến cố A1, ..., An trong không gian xác suất ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} , nguyên lý bao hàm-loại trừ cho trường hợp n = 2 là

P ( A 1 ∪ A 2 ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) − P ( A 1 ∩ A 2 ) , {\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2})=\mathbb {P} (A_{1})+\mathbb {P} (A_{2})-\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}),}

và cho trường hợp n = 3:

P ( A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + P ( A 3 ) − P ( A 1 ∩ A 2 ) − P ( A 1 ∩ A 3 ) − P ( A 2 ∩ A 3 ) + P ( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) {\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3})=\mathbb {P} (A_{1})+\mathbb {P} (A_{2})+\mathbb {P} (A_{3})-\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2})-\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{3})-\mathbb {P} (A_{2}\cap A_{3})+\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})}

và trong tổng quát

P ( ⋃ i = 1 n A i ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) − ∑ i < j P ( A i ∩ A j ) + ∑ i < j < k P ( A i ∩ A j ∩ A k ) + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 ∑ i < . . . < n P ( ⋂ i = 1 n A i ) , {\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i})-\sum _{i<j}\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j})+\sum _{i<j<k}\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k})+\cdots +(-1)^{n-1}\sum _{i<...<n}\mathbb {P} \left(\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}\right),}

có thể viết gọn lại thành

P ( ⋃ i = 1 n A i ) = ∑ k = 1 n ( ( − 1 ) k − 1 ∑ I ⊆ { 1 , … , n } | I | = k P ( A I ) ) , {\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{k=1}^{n}\left((-1)^{k-1}\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\} \atop |I|=k}\mathbb {P} (A_{I})\right),}

trong đó tổng cuối chạy trên tất cả tập con I của 1, …, n và chứa chính xác k phần tử, và

A I := ⋂ i ∈ I A i {\displaystyle A_{I}:=\bigcap _{i\in I}A_{i}}

là giao của tất cả các Ai với chỉ số thuộc I.

Theo các bất đẳng thức Bonferroni, tổng của các phần tử đầu tiên thay phiên là cận trên và cận dưới cho vế trái. Ta có thể dùng ý này để tính xấp xỉ khi công thức đầy đủ quá dài để tính.

Đối với không gian độ đo (S,Σ,μ) và các tập con đo được A1, …, An với độ đo hữu hạn, các định thức trên vẫn đúng khi độ đo xác suất P {\displaystyle \mathbb {P} } được thay bằng độ đo μ.

Trường hợp đặc biệt

Nếu, trong phiên bản xác suất của nguyên lý bao hàm-loại trừ, xác suất của giao các AI chỉ dựa trên số lực lượng của I, nghĩa là với mọi k thuộc {1, …, n} tồn tại ak sao cho

a k = P ( A I )  với mọi  I ⊂ { 1 , … , n }  và  | I | = k , {\displaystyle a_{k}=\mathbb {P} (A_{I}){\text{ với mọi }}I\subset \{1,\ldots ,n\}{\text{ và }}|I|=k,}

thì công thức trên giản hoá thành

P ( ⋃ i = 1 n A i ) = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 ( n k ) a k {\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}a_{k}}

,sử dụng suy luận tổ hợp với hệ số nhị thức ( n k ) {\textstyle {\binom {n}{k}}} . Ví dụ chẳng hạn, nếu các biến cố A i {\displaystyle A_{i}} đều độc lập và phân phối đều với nhau, thì P ( A i ) = p {\displaystyle \mathbb {P} (A_{i})=p} với mọi i, và ta có a k = p k {\displaystyle a_{k}=p^{k}} , và khi đó công thức ngay trên giản hoá tiếp thành

P ( ⋃ i = 1 n A i ) = 1 − ( 1 − p ) n . {\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=1-(1-p)^{n}.}

(Kết quả này cũng có thể thu được bằng xét phần giao của các phần bù của các biến cố A i {\displaystyle A_{i}} .)

Tồn tại dạng giản hoá tương tự cho trường hợp không gian độ đo (S, Σ, μ) và các tập con đo được A1, …, An với độ đo hữu hạn.